5_Tinjauan_Statistik_dan_Model_Kedatangan

Peran Teori Probabilitas & Statistik dalam Simulasi

Dalam melakukan simulasi, teori probabilitas dan statistik dipakai untuk: memahami cara membuat model sistem probabilistik, validasi model simulasi, memilih distribusi peluang masukan, membangkitkan sample random dengan distribusi tertentu, dan menganalisis data keluaran.

Variabel Random dan Sifatnya

• Percobaan — proses dimana kejadian (outcome) tidak diketahui secara pasti. Himpunan semua kejadian yang mungkin disebut ruang sample ($S$); kejadian sendiri disebut titik sample. Contoh: lempar mata uang → $S=\{H,T\}$; lempar dadu → $S=\{1,2,3,4,5,6\}$.
• Variabel random ($X$) — fungsi dari ruang sample ke bilangan real ($f:S\to \mathbb{R}$). Contoh: dua dadu dilempar, $X$ = jumlah kedua dadu, maka $X=7$ untuk kejadian $(3,4)$, $(4,3)$, dst.

Fungsi Distribusi

$F(x)=P(X\le x)\text{untuk }-\infty <x<\infty$

Sifat-sifat $F(x)$: (1) $0\le F(x)\le 1$ untuk setiap $x$; (2) $F(x)$ tidak turun (monoton naik); (3) ${\lim }_{x\to \infty }F(x)=1$ dan ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$.

• Variabel random diskrit: $F(x)={\sum }_{x_i\le x}p(x_i)$. Contoh: permintaan produk dengan nilai $1,2,3,4$ berprobabilitas $\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{6}$ — maka $P(2\le X\le 3)=p(2)+p(3)=\frac{2}{3}$.
• Variabel random kontinu: $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(y)dy$, dimana $f$ adalah fungsi densitas peluang (pdf).

Mean dan Variansi

$\mu =E(X)=\{\begin{array}{ll}{\sum }_j{x}_{j}p(x_j)& \text{diskrit}\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx& \text{kontinu}\end{array}$

Sifat mean: $E(cX)=cE(X)$; $E(cX+dY)=cE(X)+dE(Y)$ (berlaku juga untuk $X,Y$ yang bergantung).

${\sigma }^2=Var(X)=E[(X-\mu {)}^2]=E(X^2)-{\mu }^2$

Sifat variansi: $Var(X)\ge 0$; $Var(cX)=c^{2}Var(X)$; $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$ jika $X,Y$ saling bebas. Deviasi standar $\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$.

Proses Stokastik

Proses stokastik adalah kumpulan variabel random yang terurut terhadap waktu, berasal dari ruang sample yang sama. Himpunan nilai yang mungkin disebut ruang keadaan (state space).

• Contoh diskrit: sistem antrian M/M/1 dengan waktu antar kedatangan IID (independent identically distributed — saling bebas dan berdistribusi sama) $A_1,...,A_n$ dan waktu layanan IID $S_1,...,S_n$, FIFO (first-in first-out — yang datang duluan dilayani duluan). Proses stokastik delay didefinisikan rekursif: $D_1=0$, $D_{i+1}=\max \{D_i+S_i-A_{i+1},0\}$.
• Contoh kontinu: $Q(t)$ = jumlah customer di antrian pada saat $t$, maka $\{Q(t),t\ge 0\}$ adalah proses stokastik kontinu.

Penaksiran Mean dan Variansi

Rataan sample $\bar{X}(n)=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}{n}$ adalah penaksir tak bias dari $\mu$.

Variansi sample $S^2(n)=\frac{{\sum }_{i=1}^n[X_i-\bar{X}(n){]}^2}{n-1}$ adalah penaksir tak bias dari $Var(X)$.

Suatu proses stokastik dikatakan covariansi stasioner jika: ${\mu }_i=\mu$ untuk semua $i$, ${\sigma }_i^2={\sigma }^2$ untuk semua $i$, dan $C_{i,i+j}=Cov(X_i,X_{i+j})$ tidak bergantung pada $i$ (hanya pada jarak $j$).

Memilih Distribusi Peluang Masukan

Banyak parameter dalam sistem nyata bersifat random:

Tipe sistem	Sumber kerandoman
Manufaktur	waktu proses, waktu operasi mesin, waktu perbaikan
Komputer	waktu antar kedatangan job, tipe job, waktu proses
Komunikasi	waktu antar kedatangan pesan, tipe pesan, panjang pesan
Hankam	waktu antar kedatangan pesawat, peluru, kesalahan target

Jika tersedia data masukan, tiga pendekatan yang bisa dipakai:

1. Simulasi trace driven — data digunakan langsung dalam simulasi. Kelebihan: menampilkan perilaku yang benar-benar pernah terjadi (data historis). Kekurangan: terbatas pada apa yang sudah pernah terjadi.
2. Distribusi empirik — data diolah dulu untuk membentuk distribusi secara empirik (lihat rumus di bawah). Bisa menentukan distribusi dalam interval min-maks data.
3. Uji statistik kecocokan distribusi — data diuji kecocokannya terhadap suatu distribusi teoretis tertentu. Memberi hasil paling umum (bisa diasumsikan mengikuti distribusi tertentu di luar rentang data yang diamati).

Distribusi Empirik

Misalkan $n$ data pengamatan $X_1,...,X_n$ diurutkan sehingga $X_1\le X_2\le ...\le X_n$. Fungsi distribusi empirik:

$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<X_1\\ \frac{i-1}{n-1}+\frac{x-X_i}{(n-1)(X_{i+1}-X_i)}& X_i\le x<X_{i+1},i=1,...,n-1\\ 1& X_n\le x\end{array}$

Jika digambarkan, $F(x)$ merupakan fungsi linier bagian demi bagian (interpolasi linier antar titik data terurut).

Uji kecocokan (goodness of fit) yang dipakai untuk pendekatan ketiga di atas — Chi-Square, Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, Poisson-Process — dibahas lengkap di Uji Kecocokan Distribusi.

Model Proses Kedatangan

Proses Poisson

Proses stokastik $\{N(t),t\ge 0\}$ dikatakan Proses Poisson jika:

1. Customer datang satu per satu.
2. $N(t+s)-N(t)$ saling bebas dengan $\{N(u),0\le u\le t\}$ (increment bebas).
3. Distribusi dari $N(t+s)-N(t)$ tidak bergantung pada $t$, untuk setiap $t,s\ge 0$ (increment stasioner).

$N(t)$ = jumlah customer yang datang hingga saat $t$.

Teorema: Jika $\{N(t)\}$ Proses Poisson, jumlah kedatangan dalam interval sebarang $s$ mempunyai distribusi Poisson dengan parameter $\lambda s$ (dimana $\lambda$ = laju/rate kedatangan rata-rata per satuan waktu):

$P[N(t+s)-N(t)=k]=\frac{e^{-\lambda s}(\lambda s{)}^k}{k!},k=1,2,...;s,t\ge 0$

Proses Poisson Nonstasioner

Sama seperti Proses Poisson biasa (customer datang satu per satu, increment bebas), tetapi tanpa syarat increment stasioner — di sini $\lambda$ menjadi fungsi dari $t$: $\lambda (t)=\frac{d}{dt}\Lambda (t)$, dimana $\Lambda (t)$ adalah fungsi laju kumulatif (ekspektasi jumlah kedatangan hingga saat $t$), dengan asumsi $\Lambda$ terdiferensialkan.

Kedatangan Batch

Customer diperbolehkan datang bersama-sama (batch). Jika $X(t)$ = jumlah total kedatangan hingga saat $t$, dan $B_i$ = jumlah customer dalam batch ke-$i$:

$X(t)={\sum }_{i=1}^{N(t)}{B}_i\text{untuk }t\ge 0$

Sumber

• Materi kuliah IF4021 Model dan Simulasi, minggu 6 (JS/2021).

Flashcard

flashcards Apa perbedaan ruang sample, titik sample, dan variabel random? :: Ruang sample (S) adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan; titik sample adalah kejadian itu sendiri; variabel random (X) adalah fungsi yang memetakan ruang sample ke bilangan real (f: S → R). Bagaimana rumus rekursif delay D_i pada sistem antrian M/M/1 sebagai contoh proses stokastik diskrit? :: D_1 = 0, dan D_{i+1} = max{D_i + S_i - A_{i+1}, 0}, dimana S_i adalah waktu layanan nasabah ke-i dan A_{i+1} adalah waktu antar kedatangan nasabah ke-(i+1). Apa syarat suatu proses stokastik dikatakan covariansi stasioner? :: Mean-nya konstan (μ_i = μ untuk semua i), variansinya konstan (σ_i² = σ² untuk semua i), dan kovariansi C_{i,i+j} hanya bergantung pada jarak j, tidak pada i. Sebutkan tiga pendekatan memanfaatkan data masukan dalam simulasi beserta satu kelebihan/kekurangannya masing-masing :: (1) Trace driven — pakai data langsung, tapi hanya menampilkan perilaku yang pernah terjadi; (2) distribusi empirik — bisa menentukan distribusi dalam interval min-maks data; (3) uji kecocokan distribusi — hasil paling umum karena mengasumsikan distribusi tertentu. Sebutkan tiga syarat suatu proses stokastik {N(t)} dikatakan Proses Poisson :: (1) Customer datang satu per satu, (2) N(t+s)-N(t) saling bebas dengan {N(u), 0≤u≤t} (increment bebas), (3) distribusi N(t+s)-N(t) tidak bergantung pada t (increment stasioner). Apa perbedaan Proses Poisson biasa dengan Proses Poisson Nonstasioner? :: Proses Poisson Nonstasioner tetap memenuhi syarat kedatangan satu per satu dan increment bebas, tapi TIDAK memenuhi syarat increment stasioner — laju kedatangan λ menjadi fungsi dari waktu t, yaitu λ(t) = dΛ(t)/dt. Bagaimana X(t) dirumuskan pada model kedatangan batch, dan apa arti masing-masing komponennya? :: X(t) = Σ B_i untuk i=1 sampai N(t), dimana N(t) adalah jumlah batch yang sudah datang hingga saat t, dan B_i adalah jumlah customer dalam batch ke-i.