6_Uji_Kecocokan_Distribusi

Teknik Menentukan Sifat Independensi Sample

Asumsi penting dalam teknik statistik: variabel random $X_1,X_2,X_3,...$ yang diamati independen dari suatu distribusi. Jika asumsi ini tidak berlaku (sample yang dikumpulkan dari waktu ke waktu biasanya dependen/berkorelasi), analisis statistik bisa tidak valid.

Untuk memeriksa independensi, bisa digunakan plot langsung dari pengamatan:

• Plot korelasi terhadap lag $j$ — bila data independen, plot akan terletak di sekitar sumbu-x (korelasi tidak jauh dari nol).
• Plot penyebaran $X_i$ vs $X_{i+1}$ — bila data independen, titik-titik tersebar random di kuadran (tidak membentuk pola/tren).

Hipotesis Kelompok Distribusi

Langkah pertama menentukan distribusi: tentukan kelompok distribusi (eksponensial, normal, Poisson, dst) tanpa dulu memeriksa nilai parameternya — bisa ditebak dari sifat data. Contoh: nasabah datang satu per satu dengan laju konstan dan antar-selang waktu saling independen → diduga distribusi Eksponensial. Waktu layanan tidak mungkin berdistribusi Normal murni (karena Normal punya nilai negatif, sedangkan waktu selalu positif).

Statistik sampel yang bisa membantu menebak kelompok distribusi:

• Maksimum, minimum: $X_{(1)},X_{(n)}$
• Mean: $\bar{X}(n)$
• Median: $X_{((n+1)/2)}$ (ganjil) atau $[X_{(n/2)}+X_{((n/2)+1)}]/2$ (genap)
• Variansi: $S^2(n)$
• Koefisien variansi: $\widehat{cv}(n)=\sqrt{S^2(n)}/\bar{X}(n)$
• Lexis ratio: $S^2(n)/\bar{X}(n)$ (untuk data diskrit)
• Skewness — memeriksa sifat simetri data (mis. distribusi Normal bernilai 0)

Estimasi Parameter (MLE)

Setelah kelompok distribusi ditentukan, langkah berikutnya menaksir parameter distribusi tersebut. Teknik umum: MLE (maximum-likelihood estimator). Fungsi likelihood (untuk data independen):

$L(\theta )=f_{\theta }(X_1)f_{\theta }(X_2)...f_{\theta }(X_n)$

Contoh — distribusi eksponensial ($\theta =\beta$, $f_{\beta }(x)=\frac{1}{\beta }{e}^{-x/\beta }$):

$L(\beta )={\beta }^{-n}\exp \left(-\frac{1}{\beta }{\sum }_{i=1}^n{X}_i\right)$

Untuk menyederhanakan, maksimalkan log-likelihood $l(\beta )=\ln L(\beta )=-n\ln \beta -\frac{1}{\beta }\sum X_i$. Turunkan terhadap $\beta$ dan samakan dengan nol:

$\frac{dl}{d\beta }=\frac{-n}{\beta }+\frac{1}{{\beta }^2}{\sum }_{i=1}^n{X}_i=0⟹\beta =\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}{n}=\bar{X}(n)$

Jadi taksiran MLE parameter $\beta$ distribusi eksponensial adalah rata-rata sampel.

Uji Kecocokan Distribusi (Goodness-of-Fit)

Uji goodness-of-fit adalah uji hipotesis statistik untuk menentukan apakah data pengamatan $X_1,...,X_n$ adalah sample independen dari distribusi tertentu dengan fungsi distribusi $\hat{F}$. Hipotesis nul:

$H_0$: $X_i$ adalah random variable IID dengan fungsi distribusi $\hat{F}$.

Uji Chi-Square

Distribusi yang dicocokkan dibagi menjadi $k$ selang $[a_0,a_1),[a_1,a_2),...,[a_{k-1},a_k)$ (bisa $a_0=-\infty$ atau $a_k=+\infty$). Hitung $N_j$ = jumlah $X_i$ dalam selang ke-$j$ (dengan ${\sum }_j{N}_j=n$), dan proporsi harapan $p_j$ dari selang ke-$j$ (integral densitas $\hat{f}$ untuk kasus kontinu, atau jumlah $\hat{p}(x_i)$ untuk kasus diskrit). Statistik uji:

${\chi }^2={\sum }_{j=1}^k\frac{(N_j-n{p}_j{)}^2}{n{p}_j}$

$H_0$ ditolak bila ${\chi }^2>{\chi }_{k-1,1-\alpha }^2$ (subskrip $k-1$ adalah derajat bebas/degrees of freedom — banyaknya nilai $N_j$ yang masih bisa bervariasi bebas setelah dikenai kendala ${\sum }_j{N}_j=n$; makin banyak selang $k$, makin besar derajat bebasnya). Uji ini berlaku bila semua parameter distribusi diketahui. Ketentuan Yarnold (1970) untuk membagi selang: $k\ge 3$ dan $n{p}_j\ge 5$ untuk semua $j$.

Contoh: uji Chi-Square dengan $n=219$ data waktu antar kedatangan terhadap $\hat{F}(x)=1-e^{-x/0.399}$. Dibentuk $k=20$ selang dengan $p_j=1/20=0.05$, sehingga $n{p}_j=219\times 0.05=10.95$ (memenuhi syarat). Karena $\hat{F}$ punya balikan, batas selang $a_j=-0.399\ln (1-j/20)$. Diperoleh ${\chi }^2=22.188$, sedangkan ${\chi }_{19,0.90}^2=27.204$ — sehingga $H_0$ tidak ditolak pada $\alpha =0.10$.

Uji Kolmogorov-Smirnov (K-S)

Membandingkan distribusi empirik dengan distribusi hipotesis $\hat{F}$, tanpa perlu mengelompokkan data seperti Chi-Square (namun pemakaiannya tidak seluas Chi-Square). Fungsi distribusi empirik:

$F_n(x)=\frac{\text{jumlah }{X}_i\le x}{n}$

$F_n(x)$ adalah fungsi tangga (step) kontinu-kanan, dengan $F_n(X_{(i)})=i/n$. Statistik uji mencari jarak terjauh antara $F_n(x)$ dan $\hat{F}(x)$:

$D_n={\sup }_x\{|F_n(x)-\hat{F}(x)|\}=\max \{D_n^{+},D_n^{-}\}$

dimana $D_n^{+}={\max }_i\left\{\frac{i}{n}-\hat{F}(X_{(i)})\right\}$ dan $D_n^{-}={\max }_i\left\{\hat{F}(X_{(i)})-\frac{i-1}{n}\right\}$.

Diagram di atas menunjukkan makna geometris $D_n$: jarak vertikal terbesar antara fungsi tangga $F_n(x)$ (distribusi empirik) dan kurva $\hat{F}(x)$ (distribusi hipotesis yang diuji).

Tiga kasus penerapan uji K-S, masing-masing dengan statistik uji yang disesuaikan ($H_0$ ditolak bila melebihi nilai kritis $c_{1-\alpha }$ — ambang batas yang diambil dari tabel distribusi statistik uji ini di bawah $H_0$, pada tingkat signifikansi $\alpha$ yang dipilih):

Kasus	Statistik uji (disesuaikan)
Semua parameter diketahui	$\left(\sqrt{n}+0.12+\frac{0.11}{\sqrt{n}}\right)D_n>c_{1-\alpha }$
Normal $N(\bar{X}(n),S^2(n))$, parameter tak diketahui (ditaksir dari data)	$\left(\sqrt{n}-0.01+\frac{0.85}{\sqrt{n}}\right)D_n>c_{1-\alpha }^{\prime }$
Eksponensial $\exp (\bar{X}(n))$, parameter tak diketahui (taksiran MLE)	$\left(D_n-\frac{0.2}{n}\right)\left(\sqrt{n}+0.26+\frac{0.5}{\sqrt{n}}\right)>c_{1-\alpha }^{\prime \prime }$

Nilai kritis $c_{1-\alpha }$ dkk. dilihat dari tabel yang sudah disesuaikan (mis. untuk $1-\alpha =0.90$: kasus “semua parameter diketahui” $=1.224$; kasus Normal $=0.819$; kasus eksponensial $=0.990$).

Sumber

• Materi kuliah IF4021 Model dan Simulasi, minggu 7 (JS/2021), berbasis Law & Kelton, Simulation Modeling and Analysis, Tabel 6.14.

Flashcard

flashcards Bagaimana cara memeriksa independensi sample X_1, X_2, … menggunakan plot? :: Dengan plot korelasi terhadap lag j (data independen → titik di sekitar sumbu-x, korelasi mendekati nol) atau plot penyebaran X_i vs X_{i+1} (data independen → titik tersebar random tanpa pola/tren). Sebutkan tiga statistik sampel yang membantu menebak kelompok distribusi data, selain mean dan variansi :: Lexis ratio (S²(n)/X̄(n), untuk data diskrit), koefisien variansi (√S²(n)/X̄(n)), dan skewness (memeriksa simetri data — distribusi normal bernilai 0). Jawaban lain valid: maksimum/minimum, median. Apa hasil taksiran MLE untuk parameter β distribusi eksponensial, dan bagaimana cara memperolehnya? :: β = X̄(n) (rata-rata sampel) — diperoleh dengan memaksimalkan log-likelihood l(β) = -n ln β - (1/β)ΣX_i, yaitu menurunkan terhadap β dan menyamakan dengan nol. Apa hipotesis nul (H0) yang diuji pada uji goodness-of-fit? :: X_i adalah random variable IID (independen, identik terdistribusi) dengan fungsi distribusi F̂ tertentu. Apa syarat Yarnold (1970) untuk membagi selang pada uji Chi-Square, dan kapan H0 ditolak? :: Syarat: k ≥ 3 selang dan np_j ≥ 5 untuk semua j. H0 ditolak bila statistik χ² = Σ(N_j - np_j)²/(np_j) melebihi nilai kritis χ²_{k-1,1-α}. Apa keunggulan dan kekurangan uji Kolmogorov-Smirnov dibanding uji Chi-Square? :: Keunggulan: tidak perlu mengelompokkan data ke dalam selang seperti Chi-Square. Kekurangan: pemakaiannya tidak seluas Chi-Square (lebih terbatas kasus penerapannya). Mengapa statistik uji Kolmogorov-Smirnov perlu “disesuaikan” berbeda-beda tergantung tiga kasus (parameter diketahui, Normal ditaksir, eksponensial ditaksir)? :: Karena ketika parameter distribusi ditaksir dari data yang sama yang diuji (bukan diketahui sebelumnya), nilai kritis dan bentuk statistik uji standar tidak lagi berlaku secara langsung — perlu faktor koreksi berbeda untuk tiap kasus distribusi & status parameternya.